Question

17．已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x-2）=x²-4x+9．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）-bx，若當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;1}]$時(shí)，g（x）的最大值為$\frac{11}{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用配方法，令t=x-2，可得f（t）的解析式，即有f（x）的解析式；
（2）求得g（x）=f（x）-bx=x²-bx+5，由于f（x）的圖象開口向上，可得f（x）的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，分別考慮，解方程可得b的值，注意檢驗(yàn)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系．

解答 解：（1）f（x-2）=x²-4x+9=（x-2）²+5，
令t=x-2，則f（t）=t²+5，
即有f（x）=x²+5；
（2）g（x）=f（x）-bx=x²-bx+5，
當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;\;1}]$時(shí)，g（x）的最大值為$\frac{11}{2}$，
由于f（x）的圖象開口向上，可得f（x）的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，
若f（1）取得最大值，即為1-b+5=$\frac{11}{2}$，
解得b=$\frac{1}{2}$，
則f（x）=x²-$\frac{1}{2}$x+5，對稱軸為x=$\frac{1}{4}$，1與對稱軸的距離大于$\frac{1}{2}$與對稱軸的距離，
則f（1）取得最大值成立；
若f（$\frac{1}{2}$）取得最大值，即為$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$b+5=$\frac{11}{2}$，
解得b=-$\frac{1}{2}$，
則f（x）=x²+$\frac{1}{2}$x+5，對稱軸為x=-$\frac{1}{4}$，1與對稱軸的距離大于$\frac{1}{2}$與對稱軸的距離，
則f（1）取得最大值成立，故該情況不成立．
綜上可得，b=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用換元法，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，注意考慮對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．