Question

9．已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若方程|xlnx-ex+e|=mx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[e-$\frac{1}{e}$-2，e-2）．

Answer 1

分析 令f（x）=xlnx-ex+e，判斷f（x）的單調(diào)性得出y=|f（x）|在[$\frac{1}{e}$，e²]上的圖象，根據(jù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)求出m的臨界值即可得出m的范圍．

解答 解：令f（x）=xlnx-ex+e，則f′（x）=lnx-e+1，
∴當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，e^e-1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（e^e-1，e²）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，e^e-1）上單調(diào)遞減，在（e^e-1，e²）上單調(diào)遞增，
又f（1）=0，f（e²）=2e²-e³+e=e（2e+1-e²）＜0，
∴|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx-ex+e，\frac{1}{e}≤x≤1}\\{-xlnx+ex-e，1＜x≤{e}^{2}}\end{array}\right.$，
∴y=|f（x）|的函數(shù)圖象如圖所示：

∵方程|xlnx-ex+e|=mx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∴y=mx與y=|f（x）|的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)y=m₁x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（e²，|f（e²）|），則m₁=$\frac{e（{e}^{2}-2e-1）}{{e}^{2}}$=$e-\frac{1}{e}-2$，
設(shè)y=m₂x與y=|f（x）|相切，切點(diǎn)為x₀，y₀，顯然1＜x₀＜e²，
則$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{2}=-ln{x}_{0}-1+e}\\{{y}_{0}={m}_{2}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=-{x}_{0}ln{x}_{0}+e{x}_{0}-e}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=e²-2e，m₂=e-2，
∴e-$\frac{1}{e}-2$≤m＜e-2．
故答案為[e-$\frac{1}{e}-2$，e-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性判斷，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．