Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）記S_n為數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和，是否存在正整數(shù)n，使得S_n＞40n+600？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列求和公式與不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}公差為d，由$a_3^2={a_1}{a_{13}}得{（{2+2d}）^2}=2（{2+12d}）$…（2分）
解得d=0或d=4，…（4分）
故a_n=2或a_n=4n-2； …（6分）
（2）當(dāng)a_n=2時(shí)，S_n=2n…（7分）S_n=2n＜40n+600．不存在正整數(shù)n，使得S_n＞40n+600…（8分）
當(dāng)a_n=4n-2時(shí)，${S_n}=2{n^2}$…（9分）
由2n²＞40n+600解得n＞30或n＜-10（舍去）
此時(shí)存在正整數(shù)n使得S_n＞40n+600．且n的最小值為31．…（11分）
綜上，當(dāng)a_n=2時(shí)，不存在正整數(shù)n，使得S_n＞40n+600
當(dāng)a_n=4n-2時(shí)，存在正整數(shù)n使得S_n＞40n+600．且n的最小值為31．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．