Question

9．已知函數(shù)f（log₂x）=x²+2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=a•2^x-4在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，使用換元法得出f（x）的解析式；
（2）令2^x=m，則關(guān)于m的方程m²+（2-a）m+4=0在（1，4）上有兩解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式解出a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)t=log₂x，t∈R，則x=2^t，
f（t）=2^2t+2•2^t=4^t+2^t+1．
∴f（x）=4^x+2^x+1．
（2）∵方程f（x）=a•2^x-4在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴4^x+（2-a）2^x+4=0在（0，2）有兩個(gè)不等實(shí)根．
令2^x=m，h（m）=m²+（2-a）m+4，則m∈（1，4）．
∴h（m）=0在（1，4）上有兩個(gè)不等的實(shí)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^{2}-16＞0}\\{1＜\frac{a-2}{2}＜4}\\{7-a＞0}\\{28-4a＞0}\end{array}\right.$，解得6＜a＜7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)解析式的解法，屬于中檔題．