Question

14．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，定點(diǎn)$A（0，-\sqrt{3}）$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是圓錐曲線C的左、右焦點(diǎn)．直線經(jīng)過點(diǎn)F₁且平行于直線AF₂．
（Ⅰ）求圓錐曲線C和直線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線與圓錐曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求|F₁M|•|F₁N|．

Answer 1

分析 （I）圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，即3ρ²+（ρsinθ）²=12，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．利用斜率計(jì)算公式可得${k}_{A{F}_{2}}$．利用點(diǎn)斜式可得要求的直線方程．
（II）由（I）可得直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．代入橢圓方程可得：5t²-4t-12=0，利用|F₁M|•|F₁N|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，即3ρ²+（ρsinθ）²=12，可得直角坐標(biāo)方程：3x²+4y²=12，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
${k}_{A{F}_{2}}$=$\frac{-\sqrt{3}-0}{0-1}$=$\sqrt{3}$．
∴要求的直線方程為：y=$\sqrt{3}$（x+1）．
（II）由（I）可得直線的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
代入橢圓方程可得：5t²-4t-12=0，
∴t₁t₂=-$\frac{12}{5}$．
∴|F₁M|•|F₁N|=|t₁t₂|=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的點(diǎn)斜式、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．