Question

20．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，2a₁，a₃-3，a₄+5成等比數(shù)列．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）公差d為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，2a₁，a₃-3，a₄+5成等比數(shù)列．可得$（{a}_{3}-3）^{2}$=2a₁•（a₄+5），即（2d-2）²=2（6+3d），解出即可得出．
（2）由（1）可得${b_n}={（{-1}）^n}{a_n}={（{-1}）^n}（{4n-3}）$，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 解：（1）公差d為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，2a₁，a₃-3，a₄+5成等比數(shù)列．
∴$（{a}_{3}-3）^{2}$=2a₁•（a₄+5），即（2d-2）²=2（6+3d），化為：2d²-7d-4=0，d＞0，解得d=4，∴a_n=4n-3．
（2）由（1）可得${b_n}={（{-1}）^n}{a_n}={（{-1}）^n}（{4n-3}）$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${T_n}=-1+5-9+13-17+…+（{4n-3}）=4×\frac{n}{2}=2n$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，T_n=T_n+1-b_n+1=2（n+1）-（4n+1）=-2n+1，
綜上，${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2n，n偶數(shù)}\\{-2n+1，n為奇數(shù)}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．