Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^2x+x²-ax-2．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若g（x）=f（x）-x²+2，且g（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=2e^2x+2x-a，a=2時(shí)，f′（x）=2e^2x+2x-2，在R上單調(diào)遞增，f′（0）=0，即可得出極小值．
（2）g（x）=e^2x-ax．由g（x）≥0恒成立，?a≤$（\frac{{e}^{2x}}{x}）_{min}$．令h（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$，則利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=2e^2x+2x-a，a=2時(shí)，f′（x）=2e^2x+2x-2，在R上單調(diào)遞增，f′（0）=0，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（0）=1-2=-1．
（2）g（x）=f（x）-x²+2=e^2x+x²-ax-2-x²-2=e^2x-ax．
x=0時(shí)，g（0）=1＞0成立．
由g（x）≥0，x≠0恒成立，?a≤$（\frac{{e}^{2x}}{x}）_{min}$．
令h（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{2x}（2x-1）}{{x}^{2}}$，
可知：當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值即最小值，h（$\frac{1}{2}$）=2e．
∴a≤2e．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2e]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．