Question

8．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x+6，若x=3是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求f（x）在[0，a]上的最值．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，再根據(jù)f′（3）=0，求得a=5，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值，和端點(diǎn)值，求出最值即可．

解答 解：∵f（x）=x³-ax²+3x+6．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由題意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x+6，
∴f′（x）=3x²-10x+3．
令 f′（x）=0，解得 x=$\frac{1}{3}$或x=3∈[0，5]，
易知f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]上單調(diào)遞減，在[0，$\frac{1}{3}$），[3，5]上單調(diào)遞增，
而f（0）=6，f（3）=-3，
f（5）=21，f（$\frac{1}{3}$）=7-$\frac{14}{27}$，
故f（x）在區(qū)間[0，5]上的最大值為21，最小值為-3

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．