Question

19．對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x₀，滿足f（-x₀）=-f（x₀），則稱f（x）為“M類函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$），試判斷f（x）是否為“M類函數(shù)”？并說明理由；
（2）設(shè)f（x）=2^x+m是定義在[-1，1]上的“M類函數(shù)”，求實數(shù)m的最小值；
（3）若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{x^2}-2mx）\\-3\end{array}\right.\begin{array}{l}{，\;\;x≥2}\\{，\;\;x＜2}\end{array}$為其定義域上的“M類函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x），得：$sin（{-x+\frac{π}{3}}）=-sin（{x+\frac{π}{3}}）$，解得${x_0}=\frac{π}{2}∈R$，可得結(jié)論；
（2）若f（x）=2^x+m是定義在[-1，1]上的“M類函數(shù)”，則存在實數(shù)x₀∈[-1，1]滿足f（-x₀）=-f（x₀），即方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，進(jìn)而可得實數(shù)m的最小值；
（3）若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{x^2}-2mx）\\-3\end{array}\right.\begin{array}{l}{，\;\;x≥2}\\{，\;\;x＜2}\end{array}$為其定義域上的“M類函數(shù)”，則存在實數(shù)x₀，滿足f（-x₀）=-f（x₀），進(jìn)而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x），得：$sin（{-x+\frac{π}{3}}）=-sin（{x+\frac{π}{3}}）$…（1分）
所以$\sqrt{3}cosx=0$…（3分）
所以存在${x_0}=\frac{π}{2}∈R$滿足f（-x₀）=-f（x₀）
所以函數(shù)$f（x）=sin（{x+\frac{π}{3}}）$是“M類函數(shù)”…（4分）
（2）因為f（x）=2^x+m是定義在[-1，1]上的“M類函數(shù)”，
所以存在實數(shù)x₀∈[-1，1]滿足f（-x₀）=-f（x₀），
即方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，…（5分）
令$t={2^x}∈[{\frac{1}{2}，2}]$…（6分）
則$m=-\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$
因為$g（t）=-\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}）$在$[\frac{1}{2}，1]$上遞增，在[1，2]上遞減…（8分）
所以當(dāng)$t=\frac{1}{2}$或t=2時，m取最小值$-\frac{5}{4}$…（9分）
（3）由x²-2mx＞0對x≥2恒成立，得m＜1…（10分）
因為若$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{x^2}-2mx）\\-3\end{array}\right.\begin{array}{l}{，\;\;x≥2}\\{，\;\;x＜2}\end{array}$為其定義域上的“M類函數(shù)”
所以存在實數(shù)x₀，滿足f（-x₀）=-f（x₀）
 ①當(dāng)x₀≥2時，-x₀≤-2，
所以$-3=-{log_2}（{x_0}^2-2m{x_0}）$，所以$m=\frac{1}{2}{x_0}-\frac{4}{x_0}$
因為函數(shù)$y=\frac{1}{2}x-\frac{4}{x}（x≥2）$是增函數(shù)，所以m≥-1…（12分）
 ②當(dāng)-2＜x₀＜2時，-2＜-x₀＜2，所以-3=3，矛盾…（13分）
 ③當(dāng)x₀≤-2時，-x₀≥2，所以${log_2}（{x_0}^2+2m{x_0}）=3$，所以$m=-\frac{1}{2}{x_0}+\frac{4}{x_0}$
因為函數(shù)$y=-\frac{1}{2}x+\frac{4}{x}（x≤-2）$是減函數(shù)，所以m≥-1…（15分）
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[-1，1）…（16分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的定義，新定義“M類函數(shù)”，正確理解新定義“M類函數(shù)”的含義，是解答的關(guān)鍵．