Question

在各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

1

2

(an+

1

an

)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：歸納猜想型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，能夠求出a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：an=

n

-

n-1

（n∈N*）；
（3）由（2）可得：S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

，利用消去法化簡(jiǎn)即得．

解答： 解：（1）由題意得，S_n=

1

2

(an+

1

an

)，且a_n＞0，
令n=1得，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，得a₁=1，
令n=2得，a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)得a22+2a2-1=0，解得a₂=

2

-1，
令n=3得，a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，解得a₃=

3

-

2

；
（2）根據(jù)（1）猜想：an=

n

-

n-1

（n∈N*）；
（3）由（2）可得：
S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

=

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理、數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．