Question

6．如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且AE=4，DF=1，AC交DE于點(diǎn)G．現(xiàn)將△ADF沿AF折起，使得平面ADF⊥平面ABCF，得到圖2．
（Ⅰ）在圖2中，求證：CE⊥DG；
（Ⅱ）若點(diǎn)M是線段DE上的一動點(diǎn)，問點(diǎn)M在什么位置時，二面角M-AF-D的余弦值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出DE⊥AF，DO⊥OF，EO⊥AF，從而DO⊥平面ABCF，進(jìn)而DO⊥CE，推導(dǎo)出四邊形AECF為平行四邊形，從而CE⊥OE，進(jìn)而CE⊥平面DOE，由此能證明CE⊥DG．
（Ⅱ）以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)點(diǎn)M在線段DE的四等分點(diǎn)且DM=$\frac{1}{4}$DE時，二面角M-AF-D的余弦值為$\frac{3}{5}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵在矩形ABCD中，AB=5，AD=2，AE=4，DF=1，
∴tan$∠DAF=\frac{DF}{AD}=\frac{AD}{AE}$=tan∠AED，
∴∠AOE=90°，即DE⊥AF．
∴在圖2中，DO⊥OF，EO⊥AF．
又∵平面ADF⊥平面ABCF，平面ADF∩平面ABCF=AF，
∴DO⊥平面ABCF，∴DO⊥CE，
依題意，AE∥CF，且AE=CF，∴四邊形AECF為平行四邊形．
∴CE∥AF，∴CE⊥OE，又∵OD∩OE=O，
∴CE⊥平面DOE，又∵DG?平面DOE，∴CE⊥DG．
解：（Ⅱ）如圖1，在Rt△ADF中，AF=$\sqrt{5}$，OD=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，OF=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵DF∥AE，AE=4DF，∴OE=4OD=$\frac{8}{\sqrt{5}}$．
如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（$\frac{4}{\sqrt{5}}$，0，0），F(xiàn)（-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，0，0），D（0，0，$\frac{2}{\sqrt{5}}$），E（0，$\frac{8}{\sqrt{5}}$，0），
∴$\overrightarrow{FA}$=（$\sqrt{5}$，0，0），$\overrightarrow{ED}$=（0，-$\frac{8}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{5}}$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{4}{\sqrt{5}}$，$\frac{8}{\sqrt{5}}$，0），
∵EO⊥AF，∴OE⊥平面ADF，
∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）為平面ADF的法向量．
設(shè)$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{ED}$，則$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AE}+λ\overrightarrow{ED}$=（-$\frac{4}{\sqrt{5}}$，$\frac{8}{\sqrt{5}}（1-λ）$，$\frac{2}{\sqrt{5}}λ$），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面AFM的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FA}=\sqrt{5}x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-\frac{4}{\sqrt{5}}x+\frac{8}{\sqrt{5}}（1-λ）y+\frac{2}{\sqrt{5}}λz=0}\end{array}\right.$，取y=λ，得$\overrightarrow{m}$=（0，λ，4（λ-1）），
∵二面角M-AF-D的余弦值為$\frac{3}{5}$，∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|λ|}{\sqrt{{λ}^{2}+16（λ-1）^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，
整理得8λ²-18λ+9=0，解得λ=$\frac{3}{4}$或λ=$\frac{3}{2}$（舍），
∴當(dāng)點(diǎn)M在線段DE的四等分點(diǎn)且DM=$\frac{1}{4}$DE時，二面角M-AF-D的余弦值為$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法及應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．