Question

14．已知點C是圓F：（x+1）²+y²=16上的任意一點，點F為圓F的圓心，點F′與點F關于平面直角系的坐標原點對稱，線段CF′的垂直平分線與線段CF交于點P．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）若軌跡E與y軸正半軸交于點M，直線$l：y=kx+2\sqrt{3}$交軌跡E于A，B兩點，求△ABM面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，求動點P的軌跡E的方程；
（2）利用弦長公式、點到直線距離公式、基本不等式，能求出△ABM的面積的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知圓F的圓心為F（-1，0），半徑為4，
所以|PF′|+|PF|=|CF|=4＞|FF′|=2，
由橢圓的定義知，動點P的軌跡是以F，F(xiàn)′為焦點，4為長軸長的橢圓，
設橢圓E的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），且焦距為2c（c＞0），則：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ c=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=1\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
故橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）把直線$l：y=kx+2\sqrt{3}$，
代入橢圓方程消去y得：$（3+4{k^2}）{x^2}+16\sqrt{3}kx+36=0$，
由△＞0得：$k＜-\frac{3}{2}$或$k＞\frac{3}{2}$，
因為直線與橢圓相交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{{-16\sqrt{3}k}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{36}{{3+4{k^2}}}$，
因為點$M（0，\sqrt{3}）$，直線l與y軸交于點$D（0，2\sqrt{3}）$，
△ABM的面積${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}|{MD}|•|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\sqrt{{{（\frac{{-16\sqrt{3}k}}{{3+4{k^2}}}）}^2}-\frac{4×36}{{3+4{k^2}}}}=\frac{{6\sqrt{4{k^2}-9}}}{{4{k^2}+3}}$=$\frac{6}{{\sqrt{4{k^2}-9}+\frac{12}{{\sqrt{4{k^2}-9}}}}}≤\frac{6}{{2\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
當且僅當$\sqrt{4{k^2}-9}=\frac{12}{{\sqrt{4{k^2}-9}}}$，即$k=±\frac{{\sqrt{21}}}{2}$時取等號，$k=±\frac{{\sqrt{21}}}{2}$滿足△＞0
所心△ABM面積的取值范圍是$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$．

點評 本題考查軌跡方程，考查三角形的面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、直線的斜率公式、弦長公式、點到直線距離公式、基本不等式的合理運用．