Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形．

（）求橢圓的方程．

（）過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（）由題可知，則，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，帶入可得，由此可知所求橢圓方程為；(2)分別求出與軸平行時(shí)和與軸垂直時(shí)得圓得方程，聯(lián)立可求得兩圓得切點(diǎn)，進(jìn)而推斷所求的點(diǎn)如果存在只能是，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立求得，證明出,即以為直徑得圓恒過(guò)點(diǎn).

試題解析：（）∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，

∴，

∴，

又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，

∴，故所求橢圓方程為．

（）當(dāng)與軸平行時(shí)，以為直徑的圓的方程： ，

當(dāng)與軸垂直時(shí)，以為直徑的圓的方程： ，

由，

解得，

即兩圓公共點(diǎn)，因此，所求的點(diǎn)如果存在，只能是．

（i）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．

（ii）若直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線．

由，消去得： ，

記點(diǎn)、，

則，

∵， ，

∴，

．

∴，

綜合（i）（ii），以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)．