4．點A、B、C、D在同一個球的球面上，$AB=BC=2，AC=2\sqrt{2}$，若四面體ABCD體積的最大值為$\frac{4}{3}$，則該球的表面積為9π．

分析 根據三棱錐的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：根據題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為2．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點上，設小圓的圓心為Q，
四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為$\frac{1}{2}$×S△ABC×DQ=$\frac{4}{3}$，
S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BQ=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2．，∴DQ=2，如圖．
設球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（$\sqrt{2}$）2+（2-R）2，∴R=$\frac{3}{2}$，
則這個球的表面積為：S=4π（$\frac{3}{2}$）2=9π；
故答案為：9π

點評 本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關鍵．屬于中檔題．

練習冊系列答案
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14．已知函數(shù)$f（x）=sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）+1$．
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數(shù)學108103137112128120132
物理74718876848186
（Ⅰ）他的數(shù)學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的說明；
（Ⅱ）已知該生的物理成績y與數(shù)學成績x是線性相關的，求物理成績y與數(shù)學成績x的回歸直線方程
（Ⅲ）若該生的物理成績達到90分，請你估計他的數(shù)學成績大約是多少？
（附：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點（3，2），當a2+b2取得最小值時，橢圓的離心率為（　�。�
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

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（2）設x＞0，討論函數(shù)h（x）=g（x）-a（x3+x2）（a＞0）的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

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13．在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系．
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14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\;（a＞0）$，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，點P橫坐標的取值范圍是$（-\frac{1}{4}，0）$，求線段AB長的取值范圍．

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