Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點（3，2），當(dāng)a²+b²取得最小值時，橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 將點代入橢圓方程，利用“1”代換，根據(jù)基本不等式的即可a和b的關(guān)系，利用橢圓的離心率即可求得

解答 解：由點在橢圓上則：$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1$，則a²+b²=（a²+b²）（$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$）=9+$\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$+$\frac{9^{2}}{{a}^{2}}$+4≥13+2$\sqrt{\frac{4{a}^{2}}{^{2}}•\frac{9^{2}}{{a}^{2}}}$≥25，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{9^{2}}{{a}^{2}}$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴橢圓的離心率$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的方程及橢圓的離心率，考查“1”代換，基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．