Question

10．如圖＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E點，把△DEC沿CE折到D'EC的位置，使$D'A=2\sqrt{3}$，如圖＜2＞：若G，H分別為D'B，D'E的中點．
（Ⅰ）求證：GH⊥AD'；
（Ⅱ）求三棱錐D'-BCE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出D′A⊥AE，EC⊥AE，EC⊥D′E，從而EC⊥平面D′AE，進而AB⊥面D′AE，由此得到AB⊥D′A，從而D′A⊥面ABCD，進而D′A⊥BE，由此能證明D′A⊥GH．
（Ⅱ）三棱錐D'-BCE的體積${V}_{{D}^{'}-BCE}$=${V}_{C-{D}^{'}BC}$，由此能求出三棱錐D'-BCE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）在△ADE中，∵AD'=2$\sqrt{3}$，D′E=4，AE=2，
∴AD^'2+AE²=D′E²，∴D′A⊥AE，
∵EC⊥AE，EC⊥D′E，AE∩D′E=E，
∴EC⊥平面D′AE，
∵AB∥EC，∴AB⊥面D′AE，∴AB⊥D′A，
∵AE∩AB=A，∴D′A⊥面ABCD，
又∵BE?平面ABCD，∴D′A⊥BE，
∵G，H分別為D′B，D′E的中點，連結BE，
∴GH∥BE，∴D′A⊥GH．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得D′A⊥面ABCD，
∴三棱錐D'-BCE的體積：
${V}_{{D}^{'}-BCE}$=${V}_{C-{D}^{'}BC}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、空間思維能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．