Question

20．雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F到E的漸近線的距離為$\sqrt{3}a$，則E的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出雙曲線的焦點坐標以及漸近線方程，由點到直線的距離公式計算可得焦點F到漸近線ay-bx=0的距離為b，結(jié)合題意可得b=$\sqrt{3}a$，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，進而由雙曲線離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點在x軸上，則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，即ay±bx=0，
設F（c，0），F(xiàn)到漸近線ay-bx=0的距離d=$\frac{|a×0-b×c|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{|b×c|}{c}$=b，
又由雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個焦點F到E的漸近線的距離為$\sqrt{3}a$，
則b=$\sqrt{3}a$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，
故雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2；
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意“雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b”．