Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\;（a＞0）$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是其左、右焦點(diǎn)，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F₁且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是$（-\frac{1}{4}，0）$，求線段AB長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得b=c=1，計(jì)算可得a的值，代入橢圓的方程即可得答案；
（2）根據(jù)題意，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），與$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$聯(lián)立可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得直線AB的垂直平分線方程，由弦長(zhǎng)公式可以表示|AB|，計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，因?yàn)橐訤₁F₂為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以b=c=1，
即a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
（2）根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)F₁且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，即直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
與$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$聯(lián)立，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+1）+k（{x_2}+1）=\frac{2k}{{1+2{k^2}}}$，
即$M（-\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，\frac{k}{{1+2{k^2}}}）$，
設(shè)直線AB的垂直平分線方程為$y-\frac{k}{{1+2{k^2}}}=-\frac{1}{k}（x+\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}）$，
令y=0，得${x_p}=\frac{{-{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
因?yàn)?{x_p}∈（-\frac{1}{4}，0）$，所以$0＜{k^2}＜\frac{1}{2}$$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}•{x_2}}]}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}）}^2}-4\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}]}$
=$\frac{{2\sqrt{2}•（1+{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}=\sqrt{2}（1+\frac{1}{{1+2{k^2}}}）∈（\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，2\sqrt{2}）$；
即線段AB長(zhǎng)的范圍是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．