如圖,橢圓的中心在原點,為橢圓的左焦點, 為橢圓的一個頂點,過點作與垂直的直線交軸于點, 且橢圓的長半軸長和短半軸長是關于的方程(其中為半焦距)的兩個根.

 (1)求橢圓的離心率;

(2)經(jīng)過、、三點的圓與直線

相切，試求橢圓的方程.

 (1)依題意，由根與系數(shù)的關系得，

，∴，

又∵，

∴，解得；

（直接求出亦可）.

                           ……4分

(2)由(1)知,

令,

則有,

從而,

∴直線的方程為,

點坐標為.      ……8分

∵△是直角三角形,

∴圓心為,半徑為,

                          ……10分

圓心到直線的距離為

，

解得，               ……12分

所以橢圓的方程為

.……14分

練習冊系列答案
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如圖,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點,=4.

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′,過P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應的圓Q的標準方程.

 

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(I) 求橢圓的標準方程；

(II)過橢圓的右焦點F作直線，直線l1與橢圓分別交于點M,N，直線l2與橢圓分別交于點P,Q,且，求四邊形MPNQ的面積S的最小值.

 

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如圖,橢圓的中心在原點,為橢圓的左焦點, 為橢圓的一個頂點,過點作與垂直的直線交軸于點, 且橢圓的長半軸長和短半軸長是關于的方程(其中為半焦距)的兩個根.

 (1)求橢圓的離心率;

(2)經(jīng)過、、三點的圓與直線

相切，試求橢圓的方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖,橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,過右焦點F作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點,若橢圓上存在一點C,使,求橢圓的離心率.

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