Question

19．（1）設(shè)（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，求下列各式的值．
（Ⅰ）a₀
（Ⅱ）（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²
（Ⅲ）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|
（2）求（1+2x-x²）⁵展開式中x⁴的系數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用賦值法，令x=0，即可得a₀的值．
（Ⅱ）利用賦值法，令x=1，即可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀的值．由（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²平方差公式化簡(jiǎn)可得答案．
（Ⅲ）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ，即|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=2¹⁰
（2）由（1+2x-x²）⁵=[2-（x-1）²]⁵通項(xiàng)公式求解即可．

解答 解：（1）（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
（Ⅰ）令x=0，可得1=a₀
即a₀的值為1．x
（Ⅱ）令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0值．
由（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²平=（a₀+a₁+a₂+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-…+a₁₀）=0；
（Ⅲ）二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ，即|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=2¹⁰=1024
（2）由（1+2x-x²）⁵=[2-（x-1）²]⁵
由通項(xiàng)公式${{T}_{r+1}=C}_{5}^{r}（-1）^{r}（2）^{5-r}（x-1）^{2r}$，r≤5．
再由（x-1）^2r展開式中含有x⁴，
則有${C}_{2r}^{t}{x}^{2r-t}（-1）^{t}$．
可得：2r-t=4，且2r≥t．
當(dāng)r=2，t=0時(shí)，足題意，可得x⁴的系數(shù)為${C}_{5}^{2}{2}^{3}=80$
當(dāng)r=3，t=2時(shí)，滿足題意，可得x⁴的系數(shù)為${-C}_{5}^{3}{{2}^{2}C}_{6}^{2}=-600$
當(dāng)r=4，t=4時(shí)，滿足題意，可得x⁴的系數(shù)為$C\frac{4}{5}{2}^{1}{C}_{8}^{4}=700$
當(dāng)r=5，t=6時(shí)，滿足題意，可得x⁴的系數(shù)為${C}_{5}^{5}（-1）^{5}{2}^{0}{C}_{10}^{6}$=-210．
展開式中x⁴的系數(shù)合并，可得x⁴的系數(shù)-30．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式利用通項(xiàng)討論x⁴的系數(shù)，屬于中檔題．