Question

11．如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50千米/時(shí)的速度勻速行駛（圖中的箭頭方向?yàn)槠�車行駛方向），汽車開(kāi)動(dòng)的同時(shí)，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5千米、距離公路線的垂直距離為3千米的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)，問(wèn)騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少千米？

Answer 1

分析 設(shè)在A處追上汽車，速度為v，時(shí)間為t，用余弦定理表示出AM，得出v關(guān)于t的函數(shù)，得出v的最小值及其成立的條件．

解答 解：過(guò)M作公路的垂線MN，垂足為N，OM=5，MN=3，
∴sin∠MON=$\frac{MN}{OM}$=$\frac{3}{5}$，cos∠MON=$\frac{4}{5}$，ON=4．
設(shè)騎摩托車的人的速度為v公里/小時(shí)，經(jīng)過(guò)t小時(shí)后在A處追上汽車，則OA=50t，
在△MOA中，由余弦定理得AM²=25+2500t²-2×$5×50t×\frac{4}{5}$
=2500t²-400t+25，
又AM=vt，
∴v²t²=2500t²-400t+25，即v²=$\frac{25}{{t}^{2}}$-$\frac{400}{t}$+2500=25（$\frac{1}{t}$-8）²+900≥900，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{8}$時(shí)，V取得最小值30，此時(shí)，AM=vt=$\frac{15}{4}$．
故騎摩托車的人至少以30公里/時(shí)的速度行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，他駕駛摩托車行駛了$\frac{15}{4}$公里．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．