Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a₂=p（p是不等于0的常數(shù)），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若對任意的正整數(shù)n都有S_n=$\frac{n{a}_{n}}{2}$，則數(shù)列{a_n}通項(xiàng)為a_n=p（n-1）．．

Answer 1

分析 由條件得S_n+1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$，與條件式相減得出遞推式，從而得出{$\frac{{a}_{n+1}}{n}$}是常數(shù)列，得出通項(xiàng)，再驗(yàn)證n=1的情況即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{n{a}_{n}}{2}$，∴S_n+1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$，
兩式相減得：a_n+1=$\frac{n+1}{2}$a_n+1-$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
∴$\frac{n-1}{2}$a_n+1=$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}}{n}$=$\frac{{a}_{n}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{1}$=p，
∴a_n=p（n-1）．
顯然n=1時(shí)，上式也成立．
∴對一切n∈N⁺，a_n=p（n-1）．
故答案為：a_n=p（n-1）．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，屬于中檔題．