Question

14．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=x•[f′（x）+1]，且f（1）=1，則f（x）的最大值為1．

Answer 1

分析 利用已知條件求出f′（x）=-lnx，可得f（x）=x（1-lnx），然后利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最大值．

解答 解：∵f（x）=x[f′（x）+1]，且f（1）=1，
∴f′（1）=0，①
又f′（x）=x[f″（x）]+f′（x）+1，
∴f″（x）=$-\frac{1}{x}$，∴f′（x）=-lnx+c，②
聯(lián)立①②可求得c=0，
∴f′（x）=-lnx，則f（x）=x（1-lnx），
f′（x）=-lnx（x＞0），令f′（x）=0，得x=1．
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞） 時(shí)，f′（x）＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_max=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，解答關(guān)鍵是由已知求出f′（x），屬中檔題．