Question

6．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若將函數(shù)f（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），然后把所得圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱中心，得出結(jié)論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2sin²x-1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
（2）由f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），將函數(shù)f（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
然后把所得圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到g（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（4x-$\frac{π}{2}$）=-2cos4x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱中心，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．