Question

已知兩定點(diǎn)，平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|-|PF₂|=2．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡c的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l與c交于A、B兩點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知P的軌跡c是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，由此能求出軌跡c的方程．
（Ⅱ）設(shè)l的方程為y=kx+1，A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），則，由得：x₁=λx₂；聯(lián)立，消去y，整理得：（1-k²）x²-2kx-2=0，由此得，從而得到k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴P的軌跡c是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，
∴軌跡c方程為x²-y²=1（x≥1）．                                 （3分）
（Ⅱ）由題意可知l的斜率k存在，且k≠0，±1，
設(shè)l的方程為y=kx+1，A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），
則，由得：x₁=λx₂；         （5分）
聯(lián)立，消去y，整理得：（1-k²）x²-2kx-2=0（*）
由x₁，x₂是方程（*）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的兩個(gè)不等實(shí)根得，
化簡(jiǎn)得，即；           （8分）
又，
（2）²÷（3）整理可得：，（10分）
∵，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上k²=f（λ）為增函數(shù)，
∴，
綜上得．            （13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法和直線斜率的取值范圍的確定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．