Question

20．在數(shù)列{a_n}中，若${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n×2^n-1．

Answer 1

分析 ${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$，可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
可得a_n=n•2^n-1．
故答案為：n•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．