Question

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率等于2，其兩條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，則p=1．

Answer 1

分析 求出A，B的坐標，代入三角形面積公式可得b與a，b的關系，根據(jù)離心率公式得出a，b的關系，從而可求出p的值．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}x$，拋物線的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∴A（-$\frac{p}{2}$，$\frac{bp}{2a}$），B（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{bp}{2a}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}×\frac{bp}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴bp²=$\sqrt{3}$a，即p²=$\frac{\sqrt{3}a}$．
∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}=2$，∴b²=3a²，即$\frac{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴p²=$\frac{\sqrt{3}a}$=1．
∴p=1．
故答案為1．

點評 本題考查了雙曲線與拋物線的性質，屬于中檔題．