Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-3|
（1）證明：f（x）≥f（0）；
（2）若?x∈R，不等式3f（x）＞f（a+1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論，求出f（x）的最小值，即可證明結(jié)論；
（2）?x∈R，不等式3f（x）≥f（a+1）恒成立，即?x∈R，不等式3[|x+2|+|x-3|]≥|a+3|+|a-2|恒成立，可得|a+3|+|a-2|≤15，分類(lèi)討論求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：f（x）=|x+2|+|x-3|，
x≤-2時(shí)，f（x）=-x-2-x+3=-2x+1≥5，
-2＜x＜3時(shí)，f（x）=x+2-x+3=5，
x≥3時(shí)，f（x）=x+2+x-3=2x-1≥35，
∴f（x）≥5=f（0）；
（2）解：?x∈R，不等式3f（x）≥f（a+1）恒成立，即?x∈R，不等式3[|x+2|+|x-3|]≥|a+3|+|a-2|恒成立，
∴|a+3|+|a-2|≤15，
a≤-3時(shí)，-a-3-a+2≤15，∴a≥-8，∴-8≤a≤-3，
-3＜a＜2時(shí)，a+3-a+2≤15，成立；
a≥2時(shí)，a+3+a-2≤15，∴a≤7，∴2≤a≤7，
綜上所述，-8≤a≤7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查恒成立問(wèn)題、最值問(wèn)題，是一道中檔題．