Question

6．下列四個結論：
①若x＞0，則x＞sinx恒成立；
②命題“若x-sinx=0，則x=0”的逆否命題為“若x≠0，則x-sinx≠0”；
③“命題p∧q為真”是“命題p∨q為真”的充分不必要條件；
④命題“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”．
其中正確結論的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性判斷①；寫出命題的逆否命題判斷②；由復合命題的真假判斷結合充分必要條件的判定方法判斷③，寫出全稱命題的否定判斷④．

解答 解：①令f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則x＞0時，f（x）＞f（0）=0，
∴若x＞0，則x＞sinx恒成立，故①正確；
②命題“若x-sinx=0，則x=0”的逆否命題為“若x≠0，則x-sinx≠0”，故②正確；
③若命題p∧q為真，則p真且q真，∴命題p∨q為真；反之，若命題p∨q為真，則p真或q真，則命題p∧q不一定為真，
∴“命題p∧q為真”是“命題p∨q為真”的充分不必要條件，故③正確；
④命題“?x∈R，x-lnx＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀-lnx₀≤0”，故④正確．
∴正確命題的個數(shù)是4個．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了復合命題的真假判斷，考查充分必要條件的判定方法，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，是中檔題．