Question

15．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且a₃，$\frac{1}{2}{a_5}，{a_4}$成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$的值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且q＞0，由題意和等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)后求出q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)所求的式子，化簡(jiǎn)后即可求值．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且q＞0，
∵a₃，$\frac{1}{2}{a_5}，{a_4}$成等差數(shù)列，
∴$2×\frac{1}{2}{a}_{5}={a}_{3}+{a}_{4}$，則${a}_{3}{q}^{2}={a}_{3}+{a}_{3}q$，
化簡(jiǎn)得，q²-q-1=0，解得q=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
則q=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{{a}_{4}+{a}_{6}}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{5}}{{a}_{3}q+{a}_{5}q}$=$\frac{1}{q}$=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．