Question

20．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3-x），f（2015）=2，則不等式f（x）＜2e^x-1的解集為（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性推導(dǎo)函數(shù)的周期性，構(gòu)造函數(shù)g（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x+1）=f（3-x）=f（x-3），
∴f（x+4）=f（x），即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
∵f（2015）=f（2015-4×504）=f（-1）=f（1）=2，
∴f（1）=2，
設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
故函數(shù)g（x）是R上的減函數(shù)，
則不等式f（x）＜2e^x-1等價(jià)為$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜$\frac{2}{e}$，
即g（x）＜g（1），
解得x＞1，
即不等式的解集為（1，+∞）．
故答案為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱(chēng)性求出函數(shù)的周期性以及構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．