Question

2．在△ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn)，直線EF過(guò)G與邊AB、AC相交于E、F，且$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，則m+n的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由題意利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義求得$\overrightarrow{EG}$和 $\overrightarrow{GF}$，再根據(jù)$\overrightarrow{EG}$和 $\overrightarrow{GF}$ 共線，可得（m+n）=4mn，再利用基本不等式求得m+n的最小值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}•\overrightarrow{AD}$-m$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}•\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$-m•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1-4m}{4}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{4}$，m＞0，n＞0．
同理可得，$\overrightarrow{GF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AG}$=n$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}•\overrightarrow{AD}$=n$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}•\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$=$\frac{4n-1}{4}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{\overrightarrow{AB}}{4}$．
再根據(jù)E、G、F共線，可得 $\frac{\frac{1-4m}{4}}{-\frac{1}{4}}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{4n-1}{4}}$，即 4m-1=$\frac{1}{4n-1}$，即m+n=4mn，
再根據(jù)基本不等式（m+n）²≥2mn，可得 2（m+n）²≥（m+n），m+n≥$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．