Question

8．設f（x）是定義在R上的增函數，其導函數為f′（x），且滿足f（x）+f′（x）（x-1）＜0，下面不等式正確的是（　�。�

• A． f（x²）＜f（x-1）
• B． （x-1）f（x）＜xf（x+1）
• C． f（x）＞x-1
• D． f（x）＜0

Answer 1

分析 造函數g（x）=（x-1）f（x），得到g（x）在R上單調遞減，根據g（1）=0，得到x＞1時：f（x）＜0，從而求出答案．

解答 解：∵f（x）定義在R上的增函數，其導函數為f′（x），
∴f′（x）＞0，
∵（x-1）f′（x）+f（x）＜0，
設g（x）=（x-1）f（x），
∴g′（x）=（x-1）f′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在R上單調遞減，
∵g（1）=0，、
∴當x＞1時：g（x）=（x-1）f（x）＜g（1）=0，
∴x＞1時：f（x）＜0，
又f（x）是定義在R上的增函數，
∴當x≤1時：必有f（x）＜0，
綜上可知f（x）＜0，x∈R，
故選：D．

點評 本題考查了導數的應用，考查函數的單調性問題，構造函數g（x）=（x-1）f（x），根據x＞1時得到f（x）＜0是解題的關鍵，本題是一道中檔題．