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4.下列說法中正確的是(  )
①如果α是第一象限的角,則角-α是第四象限的角
②函數(shù)y=sinx在[-\frac{π}{6}\frac{2π}{3}]上的值域是[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]
③已知角α的終邊上的點P的坐標為(3,-4),則sinα=-\frac{4}{5}
④已知α為第二象限的角,化簡tanα\sqrt{1-{{sin}^2}α}=sinα.
A.①②B.①③C.③④D.②④

分析 對于①,利用角α與角-α關(guān)于x軸對稱,即可判斷①正確;
對于②,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知函數(shù)y=sinx在[-\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]上的值域是[-\frac{1}{2},1],可判斷②錯誤;
對于③,由任意角的三角函數(shù)的定義可知,點P的坐標為(3,-4)時sinα=\frac{-4}{\sqrt{{3}^{2}{+(-4)}^{2}}}=-\frac{4}{5},可判斷③正確;
對于④,因為α為第二象限的角,利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系可知\sqrt{1{-sin}^{2}α}=-cosα,可判斷④錯誤.

解答 解:對于①,由于角α與角-α關(guān)于x軸對稱,因此若α是第一象限的角,則角-α是第四象限的角,故①正確;
對于②,函數(shù)y=sinx在[-\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]上的值域是[-\frac{1}{2},1],而不是[-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}],故②錯誤;
對于③,由于角α的終邊上的點P的坐標為(3,-4),則sinα=\frac{-4}{\sqrt{{3}^{2}{+(-4)}^{2}}}=-\frac{4}{5},故③正確;
對于④,因為α為第二象限的角,所以\sqrt{1{-sin}^{2}α}=-cosα,因此tanα\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\frac{sinα}{cosα}•(-cosα)=-sinα,故④錯誤.
綜上所述,以上說法中正確的是:①③,
故選:B.

點評 本題考查命題的真假判斷與應用,考查任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)間的關(guān)系及正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

練習冊系列答案
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