Question

15．已知銳角α，β滿足sin（α+β）cosβ=2cos（α+β）sinβ，當(dāng)α取得最大值時(shí)，tan2α=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)已知條件，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解最值即可．

解答 解：由題意可知：sinα=cos（α+β）sinβ，
∴sinα=cosαcosβsinβ-sinαsin²β，∴sinα（1+sin²β）=cosαcosβsinβ
∴$\frac{sinα}{cosα}=\frac{cosβsinβ}{{（1+{{sin}^2}β）}}$，∴$tanα=\frac{cosβsinβ}{{1+{{sin}^2}β}}=\frac{cosβsinβ}{{2{{sin}^2}β+{{cos}^2}β}}=\frac{tanβ}{{2{{tan}^2}β+1}}$
當(dāng)α取得最大值時(shí)，tanα取得最大．$tanα=\frac{tanβ}{{2{{tan}^2}β+1}}=\frac{1}{{2tanβ+\frac{1}{tanβ}}}$，
當(dāng)$tanβ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，tanα有最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
∴$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．