Question

16．若數(shù)列{a_n}滿足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…n-1；n∈N*，n≥2），稱數(shù)列{a_n}為E數(shù)列，記S_n為其前n項和
（Ⅰ）寫出一個滿足a₁=a₅=0，且S₅＞0的E數(shù)列{a_n}
（Ⅱ）若a₁=2，n=2017，證明：若E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則a_n=2018；反之，若a_n=2018，則E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列
（Ⅲ）對任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項為0的E數(shù)列{a_n}，使得S_n=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列{a_n}，如果不在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意0，1，2，1，0是一個滿足條件的E數(shù)列{a_n}．
（Ⅱ）若E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則a_k+1-a_k=1，推導(dǎo)出{a_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，從而得到a₂₀₁₇=2018；反之，若a₂₀₁₇=2018，由a_k+1-a_k≤|a_k+1-a_k|=1（當(dāng)且僅當(dāng)a_k+1-a_k=1時，等號成立），推導(dǎo)出E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列．（Ⅲ）由|a_k+1-a_k|=1，即a_k+1=a_k±1，知E數(shù)列{a_n}中相鄰兩項a_k，a_k+1奇偶性相反，即a₁，a₃，a₅，…為偶數(shù)，a₂，a₄，a₆，…為奇數(shù)，由此利用分類討論思想能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由題意0，1，2，1，0是一個滿足條件的E數(shù)列{a_n}．
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E數(shù)列{a_n}）．
證明：（Ⅱ）若E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則a_k+1-a_k=1（k=1，2，3，…，2016），
∴{a_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴a₂₀₁₇=2+（2017-1）×1=2018．
反之，若a₂₀₁₇=2018，
∵a_k+1-a_k≤|a_k+1-a_k|=1（當(dāng)且僅當(dāng)a_k+1-a_k=1時，等號成立），
∴a₂₀₁₇=（a₂₀₁₇-a₂₀₁₆）+（a₂₀₁₆-a₂₀₁₅）+（a₂₀₁₅-a₂₀₁₄）+…+（a₂-a₁）+a₁≤2016+2=2018，
即對k=1，2，…，2016，恒有a_k+1-a₁=1＞0，
∴E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列．
故若E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則a_n=2018；反之，若a_n=2018，則E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列．
解：（Ⅲ）由|a_k+1-a_k|=1，即a_k+1=a_k±1，知E數(shù)列{a_n}中相鄰兩項a_k，a_k+1奇偶性相反，
即a₁，a₃，a₅，…為偶數(shù)，a₂，a₄，a₆，…為奇數(shù)，
①當(dāng)n=4m（m∈N^*）時，存在首項為0的E數(shù)列{a_n}，使得S_n=0．
例如，構(gòu)造{a_n}：0，-1，0，1，…，a_4k-3，a_4k-2，a_4k-1，a_4k，…，0，-1，0，1，
其中a_4k-3=0，a_4k-2=-1，a_4k-1=0，a_4k=1，k=1，2，3，…，m，
②當(dāng)n=4m+1（m∈N^*）時，也存在首項為0的E數(shù)列a_n，使得S_n=0．
例如，構(gòu)造{a_n}：0，-1，0，1，…，a_4k-3，a_4k-2，a_4k-1，a_4k，…，0，-1，0，1，a_n，
其中a_4k-3=0，a_4k-2=-1，a_4k-1=0，a_4k=1，k=1，2，3，…，m，a_n=0．
③當(dāng)n=4m+2或n=4m+3（m∈N）時，
數(shù)列{a_n}中偶數(shù)項a₂，a₄，a₆，…，
共有2m+1奇數(shù)項，且a₂，a₄，a₆，…均為奇數(shù)，∴和a₂+a₄+a₆+…為奇數(shù)，
又和a₁+a₃+a₅+…為偶數(shù)，
∴S_n為奇數(shù)，即S_n≠0，
此時，滿足條件的E數(shù)列{a_n}不存在．

點評 本題考查滿足條件的E數(shù)列的求法，考查若E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則a_n=2018；反之，若a_n=2018，則E數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列的證明，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．