Question

18．已知橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{k}$=1的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則k的值為2或8．

Answer 1

分析 對橢圓的焦點分類討論，利用橢圓的標準方程及其離心率計算公式即可得出．

解答 解：當橢圓的焦點在x軸上時，a²=4，b²=k，4＞k，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{4-k}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=2．
當橢圓的焦點在y軸上時，a²=k，b²=4，k＞4，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{k-4}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{k-4}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=8．
∴k=2或8，
故答案為：2或8．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．