Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁，C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2sinθ，ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求C₁和C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與x軸的交點(diǎn)為P，且與C₁交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出C₁和C₂的直角坐標(biāo)方程，得出交點(diǎn)坐標(biāo)，再求C₁和C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）利用參數(shù)的幾何意義，即可求|PA|+|PB|．

解答 解：（Ⅰ）由C₁，C₂極坐標(biāo)方程分別為ρ=2sinθ，$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$’
化為平面直角坐標(biāo)系方程分為x²+（y-1）²=1，x+y-2=0．       …（1分）
得交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（1，1）．                                    …（3分）
即C₁和C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為$（{2，\frac{π}{2}}）\;\;（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$．…（5分）
（II）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+（y-1）²=1，
得${（{-\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}+{（{\frac{1}{2}t-1}）^2}=1$，…（7分）
即t²-4t+3=0，t₁+t₂=4，…（9分）
所以|PA|+|PB|=4．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查參數(shù)幾何意義的運(yùn)用，屬于中檔題．