Question

20．過原點作曲線y=e^x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的切線l，若點M（$\frac{2-ab}{e}$，a+2b））（a≥0，b≥0）在切線l上，則a+b的最小值為1．

Answer 1

分析 設(shè)出切點坐標，利用導數(shù)可得切線方程，再由切線過原點可得切點坐標，進一步得到切線方程，把M坐標代入，可得a，b關(guān)系式，求出b的取值范圍，把a+b化為關(guān)于b的函數(shù)，利用導數(shù)求得a+b的最小值．

解答 解：設(shè)切點為P（${x}_{0}，{e}^{{x}_{0}}$），則$y′{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
∴過切點的切線方程為y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$．
把原點坐標代入，可得$-{e}^{{x}_{0}}=-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}$，則x₀=1．
∴切線方程為y=ex．
∵點M（$\frac{2-ab}{e}$，a+2b））（a≥0，b≥0）在切線l上，
∴a+2b=e•$\frac{2-ab}{e}$=2-ab．
則a+2b=2-ab，即a=$\frac{2-2b}{b+1}$．
∴a+b=$\frac{2-2b}{b+1}+b=\frac{^{2}-b+2}{b+1}$．
令g（b）=$\frac{^{2}-b+2}{b+1}$（0≤b≤1）．
則g′（b）=$\frac{^{2}+2b-3}{（b+1）^{2}}$≤0在[0，1]上恒成立．
∴g（b）=$\frac{^{2}-b+2}{b+1}$（0≤b≤1）為減函數(shù)．
則g（b）_min=g（1）=1．
故答案為：1．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．