Question

6．已知球的直徑PC=4，A，B在球面上，∠CPA=∠CPB=45°，AB=2，則棱錐P-ABC的體積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，取CP中點O，結合已知可得△ABO為等邊三角形，且證得CP⊥平面ABO，再由V_P-ABC=V_C-ABO+V_P-ABO求解．

解答 解：如圖，

由球的直徑PC=4，A，B在球面上，則∠CAP=∠CBP=90°，
又∠CPA=∠CPB=45°，
∴△ACP、△BCP為等腰直角三角形，
取CP中點O，即為球心，連接AO、BO，
∴AO⊥CP，BO⊥CP，且AO=BO=$\frac{1}{2}CP=2$．
又由AO∩BO=O，∴CP⊥平面ABO，
故${V}_{C-ABO}=\frac{1}{3}{S}_{△ABO}•CO$，${V}_{P-ABO}=\frac{1}{3}{S}_{ABO}•PO$．
由△ABO中，AB=AO=BO=2，可知△ABO為等邊三角形．
∴${S}_{△ABO}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$．
∴V_P-ABC=V_C-ABO+V_P-ABO=$\frac{1}{3}{S}_{△ABO}•（CO+PO）$
=$\frac{1}{3}{S}_{ABO}•CP=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×4=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐及棱臺的體積，考查空間想象能力和思維能力，訓練了多面體體積的求法，是中檔題．