Question

18．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知${a_1}≠0，2{a_n}-{a_1}={S_1}•{S_n}，n∈{N^*}$．
（1）求a₂，a₃，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的a₂，a₃，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式．
（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）令n=1，得2a₁-a₁=a₁²．即a₁=a₁²，
∵a₁≠0，∴a₁=1，
令n=2，得2a₂-1=1•（1+a₂），解得a₂=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，由2a_n-1=S_n得，2a_n-1-1=S_n-1，
兩式相減得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1；
（2）由（1）知，na_n=n•2^n-1，設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
則T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．