Question

14．如圖，在底面為等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=2，AA₁=1，D為A₁C₁的中點，線段B₁C上的點M滿足$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{B}_{1}C}$，求直線BM與面AB₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 建立坐標系，求出平面AB₁D的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{BM}$的坐標，計算出$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{BM}$的夾角即可得出結論．

解答 解：以BC，BA，BB₁為坐標軸建立如圖所示的坐標系．
則A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），A₁（0，2，1），B₁（0，0，1），C₁（2，0，1），D（1，1，1），
∴$\overrightarrow{AD}$=（1，-1，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（2，0，-1），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（$\frac{2}{3}$，0，-$\frac{1}{3}$），∴$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{B{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（$\frac{2}{3}$，0，$\frac{2}{3}$）．
設面AB₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2y+z=0}\\{x-y+z=0}\end{array}\right.$，令z=2得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BM}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BM}|}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{6}•\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
直線BM與面AB₁D所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了空間向量在立體幾何中的應用，線面角的計算，屬于中檔題．