Question

19．某種產(chǎn)品在五個(gè)年度的廣告費(fèi)用支出x萬元與銷售額y萬元的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

x	2	4	5	6	8
y	20	35	50	55	80

（I）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（II）據(jù)此模型估計(jì)某年度產(chǎn)品的銷售額欲達(dá)到108萬元，那么本年度收入的廣告費(fèi)約為多少萬元？（回歸方程為y=${\;}_^{∧}$x+${\;}_{a}^{∧}$其中：${\;}_^{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}y}_{i}-{{n}_{x}^{-}}_{y}^{-}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-{{n}_{x}^{-}}^{2}}$，${\;}_{a}^{∧}$=${\;}_{y}^{∧}$-${\;}_^{∧}$${\;}_{x}^{-}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（Ⅱ）利用線性回歸方程計(jì)算${\;}_{y}^{∧}$=108時(shí)x的值即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+5+6+8）=5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（20+35+50+55+80）=48，
根據(jù)公式計(jì)算${\;}_^{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}y}_{i}-{{n}_{x}^{-}}_{y}^{-}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-{{n}_{x}^{-}}^{2}}$
=$\frac{（2×20+4×35+5×50+6×55+8×80）-5×5×48}{（{2}^{2}{+4}^{2}{+5}^{2}{+6}^{2}{+8}^{2}）-5{×5}^{2}}$=$\frac{200}{20}$=10，
${\;}_{a}^{∧}$=$\overline{y}$-${\;}_^{∧}$${\;}_{x}^{-}$=48-10×5=-2，
故y關(guān)于x的線性回歸方程為：${\;}_{y}^{∧}$=10x-2；
（Ⅱ）當(dāng)${\;}_{y}^{∧}$=108時(shí)，代入回歸直線方程得108=10x-2
解得x=11，所以本年度投入的廣告費(fèi)用約為11萬元．

點(diǎn)評 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是中檔題．