Question

10．在實數(shù)R中定義一種新運算：@，對實數(shù)a，b經過運算a@b后是一個確定的唯一的實數(shù)．@運算有如下性質：（1）對任意實數(shù)a，a@0=a；（2）對任意實數(shù)a，b，a@b=ab+（a@0）+（b@0）那么：關于函數(shù)f（x）=e^x@$\frac{1}{{e}^{x}}$的性質下列說法正確的是：①函數(shù)f（x）的最小值為3；②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；③函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，這三種說法正確的有①②③．

Answer 1

分析 由題意寫出函數(shù)f（x）的解析式，再分析題目中的3個命題是否正確．

解答 解：由題意，a@b=ab+（a@0）+（b@*0），且a*0=a，
所以a@b=ab+a+b；
所以f（x）=（e^x）@$\frac{1}{{e}^{x}}$=e^x•$\frac{1}{{e}^{x}}$+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
對于②，f（x）的定義域為R，關于原點對稱，
且f（-x）=1+e^-x+$\frac{1}{{e}^{-x}}$=1+$\frac{1}{{e}^{x}}$+e^x=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，②正確；
對于③，f′（x）=e^x-e^-x，令f′（x）≤0，則x≤0，
即f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，0），③正確；
對于①，由②③得：f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴f（x）_最小值=f（0）=3，①正確；
綜上，正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題是一個新定義函數(shù)問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調性的應用問題．