Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，1），點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)，AB⊥OA，△OAB的外接圓為圓C．
（1）求圓C的方程；
（2）求圓C在點(diǎn)A處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B（a，0），
由AB⊥OA，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，1）•（a-$\sqrt{3}$，-1）=$\sqrt{3}$a-3-1=0，∴$a=\frac{4}{\sqrt{3}}$
即△OAB的外接圓為圓C的圓心為C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），半徑r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即可求解．
（2）由k_AC=$\frac{1}{\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，得圓C在點(diǎn)A處的切線斜率k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即可得圓C在點(diǎn)A處的切線方程．

解答 解：（1）設(shè)B（a，0），
∵AB⊥OA，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，1）•（a-$\sqrt{3}$，-1）=$\sqrt{3}$a-3-1=0，∴$a=\frac{4}{\sqrt{3}}$
∵△ABO是Rt△，∴△OAB的外接圓為圓C的圓心為C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），半徑r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴圓C的方程為：（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+y²=$\frac{4}{3}$；
（2）∵k_AC=$\frac{1}{\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，∴圓C在點(diǎn)A處的切線斜率k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴圓C在點(diǎn)A處的切線方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程，圓的切線方程，屬于中檔題．