【題目】已知函數(shù)，是實數(shù).

（1）當時，求證：在定義域內是增函數(shù)；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）只有一個零點.

【解析】

（1）求出，證明出當時，對任意的恒成立，即可得出結論；

（2）由得出，設，其中，然后利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，根據單調性和函數(shù)值的情況分析根的情況．

（1）函數(shù)的定義域為，且，

令，則，令.

當時，；當時，.

所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，即對任意的恒成立.

因此，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)；

（2）由，可得，

設，其中，則，

令，，則，令.

當時，；當時，.

所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，

對任意的，，即函數(shù)在上單調遞增，

當時，，當時，.

對任意的，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點.

因此，函數(shù)有且只有一個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個焦點與上下頂點構成直角三角形，以橢圓E的長軸為直徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；

（Ⅱ）為橢圓上不同的三點，為坐標原點，若，試問：的面積是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年4月25日-27日，北京召開第二屆“一帶一路”國際高峰論壇，組委會要從6個國內媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這三個媒體團中既有國內媒體團又有國外媒體團，且國內媒體團不能連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為 ( )

A. 198B. 268C. 306D. 378

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合.圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），直線l：，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且.

（1）求a；

（2）若M，N為曲線C上的兩點，且，求的范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（a+b﹣c）（sinA+sinB+sinC）＝bsinA．

（1）求C；

（2）若a＝2，c＝5，求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】奇函數(shù)f（x）在R上存在導數(shù)，當x＜0時，f（x），則使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范圍為（ ）

A.（﹣1，0）∪（0，1）B.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

C.（﹣1，0）∪（1，+∞）D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.設a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足x1＝a，xn＋1＝ (n∈N*)．現(xiàn)有下列命題：

①當a＝5時，數(shù)列{xn}的前3項依次為5,3,2；

②對數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當n≥k時總有xn＝xk；

③當n≥1時，xn＞－1；

④對某個正整數(shù)k，若xk＋1≥xk，則xk＝[]．

其中的真命題有________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，ABCD為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面ABCD．

（1）證明：平面平面PBC；

（2）為直線PC的中點，且，求二面角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）研究函數(shù)f（x）在（0，π）上的單調性；

（2）求函數(shù)g（x）＝x2+πcosx的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案