Question

8．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，$f（x）={4^x}+\frac{3}{8}$，函數(shù)$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}|{x+1}|-\frac{1}{8}$，則關(guān)于x的不等式f（x）＜g（x）的解集為（　�。�

• A． （-2，-1）∪（-1，0）
• B． $（{-\frac{7}{4}，-1}）∪（{-1，-\frac{1}{4}}）$
• C． $（{-\frac{5}{4}，-1}）∪（{-1，-\frac{3}{4}}）$
• D． $（{-\frac{3}{2}，-1}）∪（{-1，-\frac{1}{2}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件和周期的定義求出f（x）的周期，由偶函數(shù)的性質(zhì)和條件求出[-1，1]上的解析式，利用函數(shù)的周期性和奇偶性的關(guān)系，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)由${4}^{x}+\frac{3}{8}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-\frac{1}{8}$，結(jié)合選項(xiàng)求出方程的根，由圖象和對(duì)稱性求出不等式的解集．

解答 解：由題意知，f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
若x∈[0，1]時(shí)，-x∈[-1，0]，
∵當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，$f（x）={4}^{x}+\frac{3}{8}$，
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，$f（-x）={4}^{-x}+\frac{3}{8}$，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=$f（-x）={4}^{-x}+\frac{3}{8}$，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}+\frac{3}{8}，x∈[-1，0]}\\{{4}^{-x}+\frac{3}{8}，x∈[0，1]}\end{array}\right.$．
∵函數(shù)$g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}|x+1|-\frac{1}{8}$，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-\frac{1}{8}，x＞-1}\\{g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x-1）-\frac{1}{8}，x＜-1}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，由${4}^{x}+\frac{3}{8}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-\frac{1}{8}$，
則${4}^{x}+\frac{1}{2}=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）$，由選項(xiàng)驗(yàn)證解得x=$-\frac{1}{2}$，
即此時(shí)不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解為-1＜x＜$-\frac{1}{2}$，
∵函數(shù)g（x）關(guān)于x=-1對(duì)稱，
∴不等式式f（x）＜g（x）的解為-1＜x＜$-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$＜x＜-1，
即不等式的解集為（$-\frac{3}{2}$，-1）∪（-1，$-\frac{1}{2}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的求解，以及不等式的應(yīng)用，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度較大．