Question

【題目】如圖:雙曲線:的左、右焦點分別為,,過作直線交軸于點.

(1)當直線平行于的一條漸近線時,求點到直線的距離;

(2)當直線的斜率為時,在的右支上是否存在點,滿足？若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由;

(3)若直線與交于不同兩點、,且上存在一點,滿足(其中為坐標原點),求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）在雙曲線的右支上不存在點，滿足，詳見解析（3）

【解析】

(1) 雙曲線:的左、右焦點分別為,,,,的漸近線方程為,由對稱性可知:,根據(jù)點到直線的距離公式,即可求得答案;

(2) 直線的斜率為時,的方程為,設(shè)右支上的點的坐標為,則,由,得,結(jié)合已知,即可求得答案;

(3) 設(shè):,聯(lián)立與的方程,得,根據(jù)韋達定理,結(jié)合已知,即可求得答案.

(1) 雙曲線:的左、右焦點分別為,

,,的漸近線方程為,

由對稱性可知：,即,

到的距離.

（2）當直線的斜率為時,的方程為,故,

又 ,故,

設(shè)右支上的點的坐標為,則,

由,得,即:

由消去

得,

由根與系數(shù)的關(guān)系知,此方程無正根

在雙曲線的右支上不存在點,滿足.

（3）設(shè),,則,

由點在曲線上,故①

設(shè):.

聯(lián)立與的方程,得,

由于與交于不同兩點,

,

,

從而①即為,

解得.

即直線的方程為.