【題目】設(shè)中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C過點，F為C的右焦點，⊙F的方程為

（1）求C的方程；

（2）若直線與⊙O相切，與⊙F交于M、N兩點，與C交于P、Q兩點，其中M、P在第一象限，記⊙O的面積為，求取最大值時，直線l的方程.

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)即得焦點方程，由橢圓上的點到兩焦點的距離和得長軸長，從而有，再把點的坐標(biāo)代入橢圓方程，及值可求得得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）先確定與圓和橢圓的位置關(guān)系，為下面作距離的差做準(zhǔn)備．直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后的二次方程，設(shè)，由韋達(dá)定理，得

,.由橢圓中的弦長公式得，然后求，由原點到直線的距離求得圓半徑得面積，求出后用基本不等式可求得最大值及此時的值，得直線方程．

（1）解：設(shè)C的方程為.

由題設(shè)知①

因為⊙F的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

所以F的坐標(biāo)為，半徑.

設(shè)左焦點為，則的坐標(biāo)為.

由橢圓定義，可得

②

由①②解得.

所以C的方程為.

（2）由題設(shè)可知，M在C外，N在C內(nèi)，P在⊙F內(nèi)，Q在⊙F外，在直線l上的四點滿足

.

由消去y得

因為直線l過橢圓C內(nèi)的右焦點F，

所以該方程的判別式恒成立.

設(shè)

由韋達(dá)定理，得

.

又因為⊙F的直徑,

所以

.

可化為.

因為l與⊙O相切，所以⊙O的半徑，

所以.

所以

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

因此，直線l的方程為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖:雙曲線:的左、右焦點分別為,,過作直線交軸于點.

(1)當(dāng)直線平行于的一條漸近線時,求點到直線的距離;

(2)當(dāng)直線的斜率為時,在的右支上是否存在點,滿足？若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;

(3)若直線與交于不同兩點、,且上存在一點,滿足(其中為坐標(biāo)原點),求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（a＞0）.

（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈[0，π]時，f（x）值域為[3，4]，求a，b的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】東莞的輕軌給市民出行帶來了很大的方便，越來越多的市民選擇乘坐輕軌出行，很多市民都會開汽車到離家最近的輕軌站，將車停放在輕軌站停車場，然后進(jìn)站乘輕軌出行，這給輕軌站停車場帶來很大的壓力．某輕軌站停車場為了解決這個問題，決定對機(jī)動車停車施行收費制度，收費標(biāo)準(zhǔn)如下：4小時內(nèi)（含4小時）每輛每次收費5元；超過4小時不超過6小時，每增加一小時收費增加3元；超過6小時不超過8小時，每增加一小時收費增加4元，超過8小時至24小時內(nèi)（含24小時）收費30元；超過24小時，按前述標(biāo)準(zhǔn)重新計費．上述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時的按一小時計費．為了調(diào)查該停車場一天的收費情況，現(xiàn)統(tǒng)計1000輛車的停留時間（假設(shè)每輛車一天內(nèi)在該停車場僅停車一次），得到下面的頻數(shù)分布表：

（小時）

頻數(shù)（車次）

100

100

200

200

350

50

以車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的頻率代替車輛在停車場停留時間位于各區(qū)間的概率．

（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車中抽取了100輛車進(jìn)行進(jìn)一步深入調(diào)研，記錄并統(tǒng)計了停車時長與司機(jī)性別的列聯(lián)表：

男

女

合計

不超過6小時

30

6小時以上

20

合計

100

完成上述列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為“停車是否超過6小時”與性別有關(guān)？

（2）（i）表示某輛車一天之內(nèi)（含一天）在該停車場停車一次所交費用，求的概率分布列及期望；

（ii）現(xiàn)隨機(jī)抽取該停車場內(nèi)停放的3輛車，表示3輛車中停車費用大于的車輛數(shù)，求的概率．

參考公式：，其中

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的P點的距離是2km，從P點沿海岸正東12km處有一個城鎮(zhèn).假設(shè)一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度為，時間t（單位：h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距P點的距離.設(shè)，則（ ）

A.函數(shù)為減函數(shù)B.

C.當(dāng)時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少D.當(dāng)時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3h

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將數(shù)列中的所有項按第一行排3項，以下每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：

……

記表中的第一列數(shù)，，，…，構(gòu)成數(shù)列.

（1）設(shè)，求m的值；

（2）若，對于任何，都有，且.求數(shù)列的通項公式.

（3）對于（2）中的數(shù)列，若上表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為q（）的等比數(shù)列，且，求上表中第k（）行所有項的和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，點，分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若與平面所成角的余弦值等于，求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為7的樣本進(jìn)行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：

學(xué)生序號

1

2

3

4

5

6

7

數(shù)學(xué)成績

60

65

70

75

85

87

90

物理成績

70

77

80

85

90

86

93

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/span>

附：線性回歸方程，

其中，.

76

83

812

526

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