Question

如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖和側視圖（尺寸如圖所示）；
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）求證平面PBC⊥平面PABE；
（Ⅲ）若G為BC上的動點，求證：AE⊥PG．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，利用棱錐的體積公式解答；
（Ⅱ）只要證明BC⊥平面PABE即可；
（Ⅲ）連BP，

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，利用角度之間的關系得到PB⊥AE，進一步得到AE⊥平面PBG，從而得證．

解答： 解：（I）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，…（2分）
且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，
∴VP-ABCD=

1

3

PA•S ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

  …（5分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PABE
∴平面ABCD⊥平面PABE…（7分）
又BC⊥AB
∴BC⊥平面PABE，
BC?平面PBC
∴平面 PBC⊥平面PABE     …（10分）
（Ⅲ）連BP，

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，
∠EBA=∠BAP=90°，
∴∠PBA=∠BEA，
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°

∴PB⊥AE…（12分）
又BC⊥平面APEB，
∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，
∴AE⊥PG…（14分）

點評：本題主要考查空間線線、線面、面面位置垂直關系轉化，空間幾何體的體積計算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．